(Recuerda que este blog sólo sirve de apoyo a las explicaciones dadas en clase)

Expresión algebraica: Combinación de números y letras unidos por las operaciones +, -, ·, :.

37x + 42a - 57b es una expresión algebraica.

Una letra puede representar un número cualquiera. Si una letra está repetida, siempre tiene el mismo valor en esa expresión.

Si entre número y letra no hay ningún signo, se entiende que están multiplicando:

4x (4 por x) (se lee: cuatro equis).

El número se coloca delante de la letra, excepto el 1, que no se pone.

3x (y no x3) x (y no 1x)

Observa las expresiones algebraicas correspondientes a estas frases.

La suma de 37 y un número ⇒ $37 + n$
Un número menos 3 ⇒ $n - 3$
La mitad de un número ⇒ $\frac{n}{2}$
El doble de un número ⇒ $4 n$
Cuatro veces un número ⇒ $4 n$

Valor numérico de una expresión algebraica: Es el valor que toma la expresión algebraica cuando sustituimos las letras por el valor que nos digan y realizamos las operaciones indicadas.

La expresión algebraica para hallar el área de un triángulo es

\frac{b \cdot h}{2}

La letra b representa la longitud de la base y la letra h la altura del triángulo.

Si tenemos un triángulo de base 5 cm y de altura 7 cm: b = 5 y h = 7
El valor numérico de la expresión es: $\frac{5 \cdot 7}{2} = 17, 5 {cm}^{2} .$
Si tenemos un triángulo de base 19 cm y de altura 12 cm: b = 19 yh = 12
El valor numérico de la expresión es: $\frac{19 \cdot 12}{2} = 114 {cm}^{2} .$

Un monomio es el producto de un número (coeficiente) por una letra o por el producto de varias letras con exponentes naturales (parte literal).

Ejemplo de coeficiente y parte literal de un monomio

El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus letras.

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal, es decir, las mismas letras con los mismos exponentes.

Los monomios solo se pueden sumar y restar si son semejantes. En tal caso, basta con sumar o restar los coeficientes y mantener la parte literal.

Una identidad es una igualdad algebraica que se verifica para cualquier valor de las letras.

Ecuación: Una ecuación es una igualdad que se cumple sólo para algunos valores de las letras que intervienen en la ecuación.

2x + 1 = 7 (x = 3). 3x + 7 = 1 (x = -2).

Variables: Son las letras de la ecuación (también se llaman incógnitas y se emplean las últimas letras del abecedario, generalmente, x, y). Se llaman variables porque su valor varía, no es siempre el mismo.

El grado de una ecuación es el mayor grado de los monomios que contiene.

Ejemplos

La igualdad algebraica x² + 7x − 5 = 3x + 7 es una ecuación.

Ejemplo de un igualdad algebraica desglosada por partes y con sus correspondientes nombres

El monomio de mayor grado es x². Por tanto, la ecuación es de segundo grado.

Comprobamos si x = 3 y x = 2 son solución de la ecuación. Para ello sustituimos el valor de x en cada miembro de la ecuación y comprobamos si se cumple la igualdad:

Resolución de una expresión algebraica para valores de equis diferentes: tres y dos

Puedes ver los siguientes vídeos para afianzar tus conocimientos:

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

Regla de la suma. Si en una ecuación se suma o se resta el mismo número o la misma expresión algebraica en los dos miembros, se obtiene una ecuación equivalente.

Ejemplo

Aplica la regla de la suma para que todos los términos con x queden en el primer miembro de la ecuación.

\begin{aligned} 4 x & = 2 x + 6 \\ 4 x - 2 x & = 2 x + 6 - 2 x \\ 2 x & = 6 \end{aligned}

Regla del producto. Si se multiplican o se dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número (distinto de cero), se obtiene una ecuación equivalente.

Ejemplo

Aplica la regla del producto para despejar el valor de x en la ecuación.

2 x = 6 \Rightarrow \frac{2 x}{2} = \frac{6}{2} \Rightarrow x = 3

(Solución)

Para resolver una ecuación aplicamos técnicas que permitan encontrar otra ecuación equivalente más sencilla.

Ejemplo

Resuelve la ecuación 9x − 15 − x + 5 = −4 + 4x + 6

1.º Simplificamos los términos semejantes:

\begin{aligned} 9 x - 15 - x + 5 & = - 4 + 4 x + 6 \\ 8 x - 10 & = 4 x + 2 \end{aligned}

2.º Aplicamos la regla de la suma para pasar los términos con x al primer miembro, y los números, al segundo miembro.

\begin{aligned} 8 x - 4 x - 10 & = 4 x - 4 x + 2 \\ 4 x - 10 + 10 & = + 2 + 10 \\ 4 x & = 12 \end{aligned}

3.º Aplicamos la regla del producto para despejar la x:

4 x = 12 \Rightarrow \frac{4 x}{4} = \frac{12}{4} \Rightarrow x = 3

La solución de la ecuación es x = 3.

Para resolver una ecuación en la que aparecen paréntesis, hay que empezar eliminando estos paréntesis para poder simplificarla.

Ejemplo

Resuelve la ecuación: 3(x + 7) = −(5 − x) + 6

1.º En el primer miembro aplicamos la propiedad distributiva y en el segundo cambiamos de signo cada uno de sus términos, ya que tiene un signo menos delante.

\begin{aligned} 3 (x + 7) & = - (5 - x) + 6 \\ 3 \cdot x + 3 \cdot 7 & = - 5 - (- x) + 6 \\ 3 \cdot x + 21 & = - 5 + x + 6 \end{aligned}

2.º Simplificamos los términos semejantes.

\begin{aligned} 3 x + 21 & = x + 1 \\ 3 x - x + 21 & = x - x + 1 \end{aligned}

3.º Aplicamos la regla de la suma.

\begin{aligned} 2 x + 21 - 21 & = + 1 - 21 \\ 2 x & = - 20 \end{aligned}

4.º Aplicamos la regla del producto.

\begin{aligned} \frac{2 x}{2} & = \frac{- 20}{2} \Rightarrow x = - 10 \end{aligned}

La solución de la ecuación es x = −10.

Para resolver una ecuación en la que aparecen denominadores, hay que empezar eliminándolos. Para ello, multiplicamos los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores.

Ejemplo

Resuelve la ecuación:

\frac{x}{3} + 3 = x - \frac{3}{2}

1.º El m.c.m. (2, 3) = 6.

\begin{aligned} 6 \cdot (\frac{x}{3} + 3) & = 6 \cdot (x - \frac{3}{2}) \\ 2 x + 18 & = 6 x - 9 \end{aligned}

2.º Aplicamos la regla de la suma.

\begin{aligned} 2 x - 2 x + 18 & = 6 x - 2 x - 9 \\ 18 + 9 & = 4 x - 9 + 9 \\ 27 & = 4 x \end{aligned}

3.º Aplicamos la regla del producto.

\begin{aligned} \frac{27}{4} & = \frac{4 x}{4} \Rightarrow x = \frac{27}{4} \end{aligned}

La solución de la ecuación es

x = \frac{27}{4}

Pasos a seguir para solucionar una ecuación de primer grado.

1º) Quitar denominadores Para resolver una ecuación en la que aparecen denominadores, hay que empezar eliminándolos. Para ello, multiplicamos los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores.

2º) Quitar paréntesis aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o resta. ¡Cuidado con el signo menos delante de un paréntesis!

-3(2x – 2) = 2x – 18 à -6x + 6 = 2x – 18

3º) Transponer términos semejantes pasando los términos en x al primer miembro y los independientes al segundo, cambiando de signo si se pasa de miembro.

-6x + 6 = 2x – 18 à -6x – 2x = -18 – 6

4º) Reducir términos semejantes realizando las sumas indicadas.

-6x – 2x = -18 – 6 à -8x = -24

5º Despejar la incógnita pasando el coeficiente de la misma al otro miembro como divisor.