Magnitudes proporcionales y razón. Porcentajes

(Recuerda que este blog sólo sirve de apoyo a las explicaciones dadas en clase)

Relaciones de proporcionalidad. Razón y proporción.

La razón entre dos números a y b es el cociente entre dichos números,  a/b.

• Una razón no tiene unidades.
• Los números a y b que forman una razón pueden ser enteros o decimales.

Y ¿para que sirve la razón entre dos números? Vamos a poner un ejemplo que todos utilizamos en nuestro tiempo libre, la bicicleta. Si nosotros damos una vuelta a los pedales, ¿cuantas vueltas dará la rueda? Nos basta con calcular la razón entre los dientes del plato y los del piñón.

• Plato: 44 dientes
• Piñón: 22 dientes
• Razón 44/22= 2 por tanto, cada vuelta de los pedales la rueda dará 2 vueltas.

¿Podrías calcular tú la razón entre el largo y el ancho de un campo de fútbol? El largo sería 100m y el ancho 65m. 

Proporción numérica

Una proporción es la igualdad entre dos razones:  a/b=c/d


La proporción está formada por cuatro términos: a y d se llaman extremos, b y c se llaman medios.

Ejemplo

Comprueba si las siguientes razones forman proporción.

• $\frac{20}{8}\text{y}\frac{30}{12}$⇒ Sí forman proporción, ya que $\frac{20}{8}=2,5\text{y}\frac{30}{12}=2,5.$
• $\frac{14}{5}\text{y}\frac{11}{4}$⇒ No forman proporción, ya que $\frac{14}{5}=2,8,$ mientras que $\frac{11}{4}=2,75.$
• $\frac{5,5}{22}\text{y}\frac{11}{44}$⇒ Sí forman proporción, ya que $\frac{5,5}{22}=0,25\text{y}\frac{11}{44}=0,25.$

Propiedades de las proporciones

Para comprobar si dos razones forman una proporción, no es necesario hallar el valor de cada una de ellas, podemos usar la propiedad fundamental de las proporciones.

Ejemplo

Comprobamos esta propiedad en la proporción $\frac{10}{8}=\frac{20}{16}$.

$\frac{10}{8}=\frac{20}{16}=1,25\Rightarrow 10\cdot 16=8\cdot 20=160$

Si en una proporción conocemos tres de los cuatro términos podemos calcular el cuarto aplicando la propiedad anterior.

Ejemplos

• Para calcular el valor de x en la proporción$\frac{5}{8}=\frac{15}{x}$, aplicamos la propiedad:
  5 ⋅ x = 8 ⋅ 15 ⇒ 5 ⋅ x = 120
  Hay que encontrar un número que multiplicado por 5 dé 120.
  Ese número es: $x=\frac{120}{5}=24$.
• Para calcular el valor de x en la proporción $\frac{5}{8}=\frac{x}{24}$, aplicamos la propiedad:
  5 ⋅ 24 = 8 ⋅ x ⇒120 = 8 ⋅ x
  Hay que encontrar un número que multiplicado por 8 dé 120.
  Ese número es: $x=\frac{120}{8}=15$.

Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un número distinto de cero, la otra queda multiplicada o dividida por ese mismo número. Las parejas de valores correspondientes forman proporción:

Se llama a r, razón de proporcionalidad o constante de proporcionalidad.

Proporcionalidad directa

Ejemplo

En la siguiente tabla podemos ver la distancia que recorre una atleta que corre con velocidad constante en distintos tiempos:

• Al multiplicar el tiempo por un número (por 2, por 3, …, por 10…) la distancia también queda multiplicada por ese mismo número.
• Las razones que se forman a partir de los pares de valores de la tabla son iguales entre sí:
  $\frac{5}{1}=\frac{10}{2}=\frac{15}{3}=\frac{50}{10}=\frac{100}{20}=5$

El valor de las razones coincide con la velocidad del atleta, 5 metros por segundo.

Si al aumentar una de las magnitudes, la otra disminuye en la misma medida, decimos que son inversamente proporcionales.

Si quieres, puedes ver el siguiente vídeo en el que se detalla lo que hemos visto:

Regla de tres

A partir de tres términos de una proporción, se puede calcular el cuarto aplicando la propiedad fundamental de las proporciones. Esta técnica se conoce con el nombre de regla de tres simple directa.

Ejemplo

Tres amigos han comido en un restaurante el menú del día y han pagado en total 40,5 €. Si 5 amigos piden el mismo menú, ¿cuánto tendrán que pagar?

Observa que el precio total es proporcional al número de amigos.

Aplicando la propiedad de la proporcionalidad:

$\frac{3}{40,5}=\frac{5}{x}\Rightarrow 3\cdot x=5\cdot 40,5\Rightarrow x=\frac{5\cdot 40,5}{3}=\frac{202,5}{3}=67,5$€

También se puede disponer la información según este esquema:

Visualiza el siguiente vídeo para consolidar tus conocimientos:

Porcentajes

Los porcentajes aparecen habitualmente en situaciones cotidianas, en las rebajas, los impuestos, resultados de encuestas, etc.

Un porcentaje, o tanto por ciento, es una razón de proporcionalidad referida a 100 unidades.

Ejemplo

Si una camisa que cuesta 30 € está rebajada un 20 %, ¿cuánto dinero nos descuentan?

El 20 % es otra forma de indicar una razón. Para calcular cuánto nos descontarán de 30 €, aplicamos la propiedad de las proporciones:

$\frac{20}{100}=\frac{x}{30}\Rightarrow 20\cdot 30=100\cdot x\Rightarrow x=\frac{20\cdot 30}{100}=\frac{600}{100}=6$ €

También podemos calcularlo así:

$20\%$ de $30\Rightarrow x=\frac{20}{100}\cdot 30=0,20\cdot 30=6$€

El porcentaje se puede expresar como un número decimal o razón:

Los porcentajes que están a nuestro alrededor muchas veces indican cuánto hay que aumentar o disminuir una cantidad dada. Por ejemplo, si pasas delante de un banco verás carteles que anuncian intereses del 3 % o del 5 %. O si miras el ticket de una compra en un comercio verás que al final hay un incremento del precio inicial expresado en forma de porcentaje: es el IVA.

Relación de problemas

Proporcionalidad y porcentajes